Э.И. СТАРОВОЙТОВ, д-р физ.-мат. наук, проф., профессор кафедры «Строительная механика, геотехника и строительные конструкции», Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель, Республика Беларусь, Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

В.С. САЛИЦКИЙ, аспирант, Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель, Республика Беларусь, Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Рассмотрена задача об изгибе осесимметричной распределенной нагрузкой пятислойной круговой симметричной по толщине пластины. Центральный и внешние слои предполагаются несущими, тонкими, повышенной жесткости. Они воспринимают основную часть силовой нагрузки и могут проявлять упругопластические свойства. Их деформирование отвечает гипотезам Кирхгофа. Для связи несущих слоев используются два относительно толстых нелинейно упругих заполнителя. Они обеспечивают перераспределение усилий между слоями, применяются для защиты от нежелательных внешних воздействий — температуры, радиации. Деформирование заполнителей описывается гипотезами Тимошенко, т. е. учитывается относительный сдвиг — дополнительный поворот нормали к срединной поверхности слоя. Система дифференциальных уравнений равновесия рассматриваемой пластины получена с помощью вариационного метода Лагранжа. Она включает систему из двух нелинейных дифференциальных уравнений. Искомыми функциями являются прогиб пластины, радиальное перемещение срединной плоскости центрального несущего слоя и два относительных сдвига в заполнителях. Для решения соответствующей краевой задачи применен метод упругих решений Ильюшина. Общее решение получено в рекуррентном виде. Приведены формулы расчета искомых перемещений и относительных сдвигов при граничных условиях жесткой заделки контура пластины. Численно исследована сходимость метода и зависимость решения от физической нелинейности материалов слоев.

1. Carrera, E. Thermal stress analysis of composite beams, plates and shells: computational modelling and applications / E. Carrera, F.A. Fazzolari, M. Cinefra. — Academic Press, 2016. — 440 p. 
2. Aghalovyan, L.A. Asymptotic theory of anisotropic plates and shells / L.A. Aghalovyan; transl. by D. Prikazchikov. — Singapore: World Scientific, 2015. — 360 p. 
3. Zhuravkov, M. Mechanics of solid deformable body / M. Zhuravkov, Y. Lyu, E. Starovoitov. — Singapore: Springer Singapore, 2023. — 308 p. — DOI: https://doi.org/10.1007/978- 981-19-8410-5. 
4. Абдусаттаров, А. Деформирование и повреждаемость упругопластических элементов конструкций при циклических нагружениях / А. Абдусаттаров, Э.И. Старовойтов, Н.Б. Рузиева. — Ташкент: IDEAL PRESS, 2023. — 381 с. 
5. Деформирование трехслойных пластин при термосиловых нагрузках: монография / Э.И. Старовойтов, А.В. Нестерович, Ю.В. Шафиева, А.Г. Козел. — Гомель: БелГУТ, 2024. — 395 с. 
6. Deformation of three-layer structural elements in thermal radiation fields / E.I. Starovoitov, M.A. Zhuravkov, D.V. Leonenko, Y. Lyu. — Singapore: Springer Singapore, 2024. — 384 p. — DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-97-7217-9. 
7. Mikhasev, G.I. Localized dynamics of thin-walled shells / G.I. Mikhasev, P.E. Tovstik. — New York: Chapman and Hall/CRC. — 2020. — 366 p. — DOI: https://doi.org/10.1201/ 9781315115467. 
8. Mikhasev, G.I. Free vibrations of elastic laminated beams, plates and cylindrical shells / G.I. Mikhasev, H. Altenbach // Thin-walled laminated structures. Buckling, vibrations and their suppression / G.I. Mikhasev, H. Altenbach. — Cham, 2019. — P. 157–198. — DOI: https://doi.org/10.1007/978-3- 030-12761-9_4. — (Advanced structured materials: STRUCTMAT; vol. 106). 
9. Лачугина, Е.А. Поперечные колебания пятислойной упругой круговой пластины с жестким заполнителем / Е.А. Лачугина // Механика. Исследования и инновации. — 2022. — Вып. 15. — C. 116–122. 
10. Лачугина, Е.А. Свободные колебания пятислойной круговой пластины с легкими заполнителями / Е.А. Лачугина // Механика. Исследования и инновации. — 2023. — Вып. 16. — С. 111–116. 
11. Будникова, Д.А. Анализ собственных колебаний пятислойного стержня / Д.А. Будникова // Механика. Исследования и инновации. — 2024. — Вып. 17. — С. 33–39. 
12. Будникова, Д.А. Собственные частоты колебаний пятислойного стержня / Д.А. Будникова // Проблемы физики, математики и техники. — 2025. — № 2(63). — С. 11–15. 
13. Горшков, А.Г. Колебания трехслойных стержней под действием локальных нагрузок различных форм / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотруд- ничества. — 2004. — № 1. — С. 45–52. 
14. Старовойтов, Э.И. Особенности колебания трехслойного стержня при локальных и импульсных воздействиях / Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко, А.В. Яровая // Прикладная механика. — 2005. — Т. 41, № 7. — С. 122–129. 
15. Fedotenkov, G.V. Identification of non-stationary load upon Timoshenko beam / G.V. Fedotenkov, D.V. Tarlakovsky, Y.А. Vahterova // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2019. — Vol. 40, iss. 4. — P. 439–447. — DOI: https://doi. org/10.1134/S1995080219040061. 
16. Pradhan, M. Static and dynamic stability analysis of an asymmetric sandwich beam resting on a variable Pasternak foundation subjected to thermal gradient / M. Pradhan, P.R. Dash, P.K. Pradhan // Meccanica. — 2016. — Vol. 51, iss. 3. — P. 725–739. — DOI: https://doi.org/10.1007/s11012-015-0229-6. 
17. Bakulin, V.N. Parametric resonance of a three-layered cylindrical composite rib-stiffened shell / V.N. Bakulin, D.A. Boitsova, A.Ya. Nedbai // Mechanics of Composite Materials. — 2021. — Vol. 57, iss. 5. — P. 623–634. — DOI: https://doi.org/10.1007/ s11029-021-09984-9. 
18. Tarlakovskii, D.V. Two-dimensional nonstationary contact of elastic cylindrical or spherical shells / D.V. Tarlakovskii, G.V. Fedotenkov // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. — 2014. — Vol. 43, iss. 2. — P. 145–152. — DOI: https://doi.org/10.3103/S1052618814010178. 
19. Bending oscillations of a cylinder, surrounded by an elastic medium and containing a viscous liquid and an oscillator / L.I. Mogilevich, V.S. Popov, D.V. Kondratov, L.N. Rabinskiy // Journal of Vibroengineering. — 2017. — Vol. 19, iss. 8. — P. 5758–5766. — DOI: https://doi.org/10.21595/jve.2017.18179. 
20. Paimushin, V.N. Static and monoharmonic acoustic impact on a laminated plate / V.N. Paimushin, R.K. Gazizullin // Mechanics of Composite Materials. — 2017. — Vol. 53, iss. 3. — P. 283– 304. — DOI: https://doi.org/10.1007/s11029-017-9662-z. 
21. Леоненко, Д.В. Колебания круговой трехслойной ступенчатой пластины при ударном периодическом воздействии / Д.В. Леоненко, М.В. Маркова // Механика машин, механизмов и материалов. — 2022. — № 3(60). — С. 68–76. — DOI: https://doi.org/10.46864/1995-0470-2022-3-60-68-76. 
22. Леоненко, Д.В. Колебания круговой трехслойной пластины под действием линейной во времени внешней нагрузки / Д.В. Леоненко, М.В. Маркова // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. — 2023. — Т. 1. — С. 49–63. 
23. Агеев, Р.В. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками / Р.В. Агеев, Л.И. Могилевич, В.С. Попов // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2014. — № 1. — С. 3–11. 
24. Grover, N. An inverse trigonometric shear deformation theory for supersonic flutter characteristics of multilayered composite plates / N. Grover, B.N. Singh, D.K. Maiti // Aerospace Science and Technology. — 2016. — Vol. 52. — P. 41–51. — DOI: https://doi.org/10.1016/j.ast.2016.02.017. 
25. Старовойтов, Э.И. Изгиб прямоугольной трехслойной пластины на упругом основании / Э.И. Старовойтов, Е.П. Доровская // Проблемы машиностроения и автоматизации. — 2006. — № 3. — С. 45–50. 
26. Старовойтов, Э.И. Изгиб упругой трехслойной круговой пластины на основании Пастернака / Э.И. Старовойтов, А.Г. Козел // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2018. — Т. 24, № 3. — С. 392–406.
27. Старовойтов, Э.И. Термоупругий изгиб кольцевой трехслойной пластины на упругом основании / Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко, М. Сулейман // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2006. — Т. 3, № 4. — С. 55–62. 
28. Старовойтов, Э.И. Деформирование локальными нагрузками композитной пластины на упругом основании / Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко, М. Сулейман // Механика композитных материалов. — 2007. — Т. 43, № 1. — С. 109–120. 
29. Козел, А.Г. Сравнение решений задач изгиба трехслойных пластин на основаниях Винклера и Пастернака / А.Г. Козел // Механика машин, механизмов и материалов. — 2021. — № 1(54). — С. 30–37. — DOI: https://doi.org/10.46864/1995- 0470-2021-1-54-30-37. 
30. Горшков, А.Г. Циклические нагружения упругопластических тел в нейтронном потоке / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая // Известия Академии наук. Механика твердого тела. — 2001. — № 1. — С. 79–85. 
31. Старовойтов, Э.И. Упругопластическое деформирование трехслойных стержней в температурном поле / Э.И. Старовойтов // Проблемы машиностроения и автоматизации. — 2012. — № 3. — С. 91–98. 
32. Babaytsev, A.V. Развитие дефектов в многослойных композитах при статических нагрузках / A.V. Babaytsev, M.Yu. Kalyagin, L.N. Rabinskiy // Russian Engineering Research. — 2024. — Vol. 44, iss. 1. — P. 112–115. — DOI: https://doi.org/10.3103/S1068798X24010064.
33. Захарчук, Ю.В. Деформирование круговой трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем = Deformation of the circular three-layer plate with a compressible filler / Ю.В. Захарчук // Проблемы физики, математики и техники. — 2017. — № 4(33). — С. 53–57. 
34. Салицкий, В.С. Изгиб защемлённой по контуру круговой пятислойной пластины / В.С. Салицкий // Механика. Исследования и инновации: сб. науч. тр. / под ред. А.О. Шимановского. — Гомель, 2022. — Вып. 15. — С. 209–213. 
35. Салицкий, В.С. Изгиб локальной нагрузкой круглой пятислойной пластины / В.С. Салицкий // Проблемы физики, математики и техники. — 2024. — № 3(60). — С. 27–31. — DOI: https://doi.org/10.54341/20778708_2024_3_60_27. 
36. Salicki, V. Local loading of circular five-layer plate / V. Salicki // AIP Conference Proceedings. — 2025. — Vol. 3265, iss. 1. — DOI: https://doi.org/10.1063/5.0265375.